teorema phytagoras

• Teorema pythagoras
Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.
Ada dua bukti kontemporer yang bisa dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Pythagoras: satu dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching (sekitar 500-200 SM), satunya lagi dalam buku Elemen Euklides.
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa: “Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus”.
Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku; kaki-nya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki segitiga siku-siku dan c adalah hipotenus:


Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya geometris, sebagai pernyataan tentang luas bujur sangkar:
“Jumlah luas bujur sangkar” a” dan” b” sama dengan luas bujur sangkar”c””.
Akan halnya, Sulbasutra India juga menyatakan bahwa:
“Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan sisi vertikal dan horisontalnya”.
Menggunakan aljabar, kita dapat mengformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisinya:
Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kaki dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka a2 + b2 = c2.



Tapi di sana masih terdapat banyak konjektif sebagai bukti bahwa Pythagoras masih dapat diganggu gugat dan secara umum boleh jadi bukti tersebut tergolong diseksi yang berikut ini: Misalkan a,b merupakan sisi tegak dan c merupakan sisi miring sebuah segitiga siku-siku, dan perbandingan 2 bujursangkar (persegi) yang masing-masing dengan a,b sebagai sisinya. Dengan mengurangkan yang sama makabujur sangkar pada hipotenusa adaalah sama dengan jumlah bujursangkar-bujursangkar pada kaki-kaki. Untuk membuktikan bahwa potongan yang tengah dari diseksi yang kedua benar-benar persegi dengan sisi c, kita perlu memanfaatkan kenyataan bahwa jumlah sudut-sudut dari suatu segitiga siku-siku=2*sudut siku-siku. Tetapi ikhtisar Eudemus (Eudemian Summary) memang dalil segitiga yang umum ini berasal dari pengikut-pengikut Pythagoras. Karena pembuktian dari dalil ini sebaliknya memerlukan pengetahuan tentang beberapa sifat dari garis-garis sejajar, pengikut-pengikut Pythagoras yang terdahulu dipandang berjasa dalam mengembangkan teori itu. Berhubungan dengan dalil Pythagoras adalah penentuan bilangan bulat a,b,c yang mewakili kaki-kaki dan sisi miring segitiga siku-siku. Suatu tripel dari bilangan-bilangan serupa ini dikenal sebagai tripel Pythagoras dan seperti analisa dari Plimton 322 memberikan bukti meyakinkan bahwa orang-orang Babylonia Kuno mengetahui cara untuk menghitung tripel serupa itu. Pengikut-pengikut Pythagoras dipandang pencipta rumus: m2+[(cm2-1)/2]2=[(cm2+1)/2]2, dengan m bilangan ganjil. Rumus yang serupa untuk menghasilkan suatu tripel Pythagoras, yaitu: (2m)2+(m2-1)2 dengan m bilangan genap atau ganjil yang telah dibuat dengan maksud sama dianggap berasal dari Plato. Baik rumus pertama atau kedua tidak dapat menghasilkan semua tripel Pythagoras

• Aritmatika phytagoras
Iamblikus seorang ahli filsafat Neoplantonus yang berpengaruh kira-kira tahun 320 M menunjuk Pythagoras sebagai penemu bilangan-bilangan sahabat(friendly)/ amicable. Dua bilangan dikatakan bersahabat bila masing-masing merupakan jumlah dari “pembagi murni “/ “proper divisiors” dari bilangan yang lain, dimana pembagi murni dari suatu bilangan bulat positif N adalah semua pembagi bulat positif dari N kecuali N itu sendiri. Misalnya 284 dan 220 yang ditamukan Pythagoras. Keduanya bersahabat karena 220 mempunyai pembagi murni 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 yang apabila dijumlahkan =284. begitu pula 284 mempunyai pembagi murni 1,2,4,71,142 yang apabila dijumlahkan =220. bilangan ini diliputi aura gaib, bahkan ada yang mengatakan bahwa bila 2 jimat yang memuat bilangan ini akan memberi persahabatan yang sempurna pada pemakainya . selain itu bilangan ini mempunyai peranan yang besar dalam pertenungan, astrologi dan pembuatan horoskop.
Sampai saat ini telah diketahui lebih dari 400 pasang bilangan bersahabat.
Selain itu masih ada lagi bilangan yang dianggap mempunyai sangkut-paut mistik, antara lain bilangan sempurna (perfect), bilangan berkekurangan (deficient/miskin) dan bilangan berkelebihan (abundant/makmur). Bilangan sempurna adalah bilangan bila jumlah pembagi murniny sama dengan bilangan itu sendiri, misalnya 28=1+2+4+7+14. dan kemudian Euclid merumuskan 2n-1 adalah bilangan prima, maka 2n-1(2n-1) adalah bilangan sempurna. Bilangan berkakurangan adalah bilangan yang jumlah pembagi murninya kurang daribilangan tersebut, misal 8<1+2+4.>bilangan tersebut, misalnya 12>1+2+3+4+6.
Tetapi tidak semua ahli sejarah matematika beranggapan bahwa bilangan amicable dan perfect berasal dari pengikut-pengikut Pythagoras, sepertinya terjadi kesepakatan yang bulat, bahwa bilangan-bilangan figurat (bilangan gambar) berasal dari mdzab yang terdahulu. Bilangan-bilangan ini dipandang sebagai jumlah titik dalam lukisan geometri tertentu merupakan mata rantai yang menghubungkan geometri dan aritmatika. Bayak teorema-teorema yang menarik yang memperlihatkan bilangan-bilangan gambar dapat ditampilkan dengan jelas dalam geometri murni. Contohnya teorema I, menjelaskan bahwa bilangan bujur sangkar adalah jumlah dari 2 bilangan segi tiga berturut-turut. Teorema II menjelaskan bahwa n bilangan segilima adalah n2+3*(n-1) bilangan segitiga. Tentu saja teorema ini bias dibuat secara aljabar. Secara jelas bahwa n bilangan segitiga=Tn diperoleh dari penjumlahan deret aritmatika:

Tn=1+2+3+…+n=[n(n+1)]/2

Maka n bilangan bjur sangkar=Sn adalah n2. teorema I kita buat secara aljabar dari identitas berikut:

Sn=n2=n(n+1)+(n-1)(n/2)=Tn+Tn+1n

bilangan segilima=Pn juga diperoleh dari penjumlahan deret aritmatika:

Pn=1+4+7+…+(3n-2)
=[n(3n-1)]/2
=n+(3n-1)/2
=n+3Tn-1
ini merupakan pembuktian dari teorema II. Yang terakhir dan penemuan yang paling luar biasa tentang bilanghan-bilangan yang dibuat oleh pengikut-pengikut Pythagoras, kita boleh menyebut ketergantungan interval-interval musik dalam perbandingan numeric. Para pengikut Pythsgoras menemukanbahwa untuk regangan-regangan di bawah sama ketegangannya, panjangnya harus 2:1 untuk oktav, 3:2 untuk ke-5, 4:3 untuk ke-4. hasil-hasil ini pertama kali dicatat dalam matematika fisika, pengikut-pengikut Pythagoras untuk berinisiatif dalam mempelajari skala musik.



• Bilangan irrasional
Bilangan rasional dapat ditafsirkan dengan geometri sederhana yaitu garis datar yang ditandai dengan titik 0 dan 1 (0 di sebelah kiri 1). Dari sini bilangan negatif ditunjukun pada titik-titik di sebelah kiri 0, bilangan bulat positif sebelah kanan 1 dan sedangkan pecahan ditunjukan dengan titik-titikyang membagi tiap satuan selisih dalam bagian yang sama. Akan tetapi masih terdapat titik pada garis itu yang tidak mewakili bilangan rasional manapun. Penemuan ini adalah salah satu hasil dari persaudaraan Pythagoras. Para pengikut Pythagoras menunjukan bahwa tidak ada bilangan rasional manapun yang manyatakan titik P dalam garis itu yang berjarak OP sebesar diagonal bujursangkar dengan sisi sebesar 1 satuan.

Sehingga perlu diciptakan bilangan baru untuk menyatakan bilangan itu., dari sinilah lahir bilangan irrasional. Untuk 2 irrasional, yang kita buktikanmembuktikannya sama saja kita membuktikan 2=a/b, dimana a dan b2 bilangan rasional, artinya dalam hal ini memisahkan bilangan bulat prima, maka:

2=a/b, 2 atau a2=2b2a=b

Karena a2=2 kali suatu bilangan bulat, maka a2 genap sehingga a pun juga genap. Misalkan a=2c maka persamaannya menjadi:

4c2=2b2, 2c2=b2

sehingga b2 genap dan b pun juga genap. Tetapi ini tidak mungkin karena a dan b tidak mungkin genap karena 2 bersifat rasional itumerupakan bilangan prima relatif. Jadi asumsi bahwa mustahil dan harus dibatalkan.

Pembuktian lain yang bersifat geometris dengan menunjukan bahwa sisi diagonal dari suatu bujursangkar tidak mempunyai satuan ukuran yang sama. Sekarang kita misalkan sebaliknya, sesuai dengan permisalan ini maka akan ada sebuah segman AP sedemikian sehingga baik dari AP, artinya AC dan AB mempunyai satuan ukuran yang sama yaitu AP. Pada AC ukurlahCB1=AB dan tariklah B1C1 tegak lurus CA. mudah dibuktikan bahwa C1B1=C1B=AB1, maka AC1=AB-AB1 dan AB1=AP. Tetapi AC1 dan ab1 adalah diagenal sisi dari suatu bujursangkar dengan ukuran yang lebih kecil dari ½ ukuran bujursangkar yang asli. Jadi mengulangi cara ini kita akhirnya akan manamukan suatu bujur sangkar dengan diagonal ACn dan sisi ABn yang dapat diukur dengan AP.
Bukti ini sebenarnya adalah bukti tradisional yang telah diketahui oleh Aristoteles (384-322 SM). Penemuan 2 ini menimbulkan sedikit kebingungan dalam barisan Pythagoras. Penemuan  ini ternyata tidak hanya mengacaukan asumsi dasar bahwa segala sesuatu berlandaskan bilangan-bilangan bulat, tetapi karena batasan Pythagoras mengenai proporsi mengenggap bahwa semua ukuran sejenis dan ada satuan ukurannya yang sama maka semua dalil-dalil dalam teorema Pythagoras tentang proporsi harus dibatasi pada ukuran-ukuran bersatuan ukuran sama. Demikian besar skandal logika ini, sehingga beberapa waktu lamanya orang-orang berusaha untuk merahasiakan soal tersebut, bahkan ada cerita yang mengatakan bahwa seorang pengikut Pythagoras yaitu Hipasus mati terbenam dalam laut karena membuka rahasia ini kepada orang luar. 2 adalah satu-satunya  Untuk beberapa waktu lamanya bilangan irrasional yang dikenal. Baru kemudian menurut Plato, Thecdoris dari 17 juga14, 13, 12, 11, 10, 8, 6, 5, 2, Cyrona menunjukkan bahwa merupakan bilangan irrasional. Kemudian sekitar 370 SM skandal itu diselesaikan oleh Eudoxus yang cemerlang, seorang murid Plato dan murid dari pengikut Pythagoras, Archytas dengan mengemukakan batasan baru tentang proporsi. Pembahasan Eudoxus yang ulung tentang ketiadaan satuan ukuran sama dimuat dalam buku ke V The Elements of Euclid dan pada dasarnya sama dengan uraian modern tentang bilangan-bilangan irrasional yang diberikan oleh Dedekind pada tahun 1872. Pembahasan tentang segitiga serupa itu dalam perjalanan aritmatika sekolah lanjutan dewasa ini mencerminkan bahwa beberapa kesulitan dan kelembutan yang disebabkan ukuran-ukuran tak bersatuan.

• Aliran neo-pythagoras
Aliran ini di sebut aliran neo-pythagoras karena ia berpangkal kepada ajaran pythagoras yang mendidik kebathinan dengan belajar menyucikan roh. Tetapi dalam perkembangan menempuh jalan sendiri.
Yang mengajarkan mula-mula ialah moderatus dari gades, yang hidup dalam abad pertama tahun masehi. Ajaran itu kemudian diteruskan oleh Nicomachos dari gerasa di penanjung arabia dan noumenios dari Apema, keduanya hidub dalam abad kedua.
Untuk mendidik perasaan cinta dan mengabdi kepada tuhan, orang itu harus menghidupkan dalam perasannyajarak yang jauh antara tuhan dan manusia, perbedaan tuhan dan barang, perbedan yang satu dan yang banyak yang tidak terhingga.
Dalam mistik neo pythagoras di didik perasaan demikian rupa supaya terasa benar jauhnya. Tuhan dari dunia ini, dari manusia, barang, dan yang banyak di dunia ini. Itu gunanya memperkuat perasaan mengabdi kepada tuhan, menanam cinta yang sebesar-besarnya kepadaNya. Bedanya tuhan dan manusia di gambarkan dalam mistik neo pythagoras sebagai perbedaan antara yang sebersih-bersihnya dengan yang bernoda. Yang sebersih-bersihnya adalah tuhan, yang bernoda adalah manusia dan segala yang ada di dunia ini. Tuhan begitu bersihnya, begitu berbeda dari yang ada di dunia ini, sehingga doa yang di panjatkan kepadaNya dan sajen-sejen yang orang hadiahkan bagi Dia mengotorinya. Tanaman, binatang, dan kata-kata pun yang keluar dari mulut manusia bernoda. Tuhan hanya dapat di dekati dengan semangat, karena semangat tidak memerlukan alat untuk naik ke atas mendekati tuhan. Semangat juga tak perlu akan kata-kata.
Tuhan sendiri tidak membuat bumi ini. Sebab apabila tuham membuat bumi, ia mempergunakan barang-barang yang bernoda sebagai bahannya. Dunia ini di buat oleh penbantunya, yaitu demiourgos.
Kaum neo pythagoras percaya, bahwa jiwa itu hidup selama-lamanya dan pindah-pindah dari angkatan mahluk turun temurun. Kepercayaan inilah yang menjadi pangkal ajaran mereka tentang inkarnasi. Terpengaruh oleh kepercayaan itu seorang pengikut mistik neo pythagoras dapat berkata dengan yakin, bahwa dia pada hidupnya dahulu adalah seorang jurumudi.